LÓGICA PROPOSICIONAL

Introducción

Es una parte de la lógica que tiene como objeto de estudio la proposición y la relación existente entre ellas, así como la función que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógicos. 

PROPOSICIÓN LÓGICA

Entendemos por proposición lógica a toda oración que tiene las siguientes características:

• Es de carácter aseverativo (afirma algo o brinda alguna información).
• Tiene valor de verdad (La información que brinda puede ser calificada como verdadera o falsa, pero no ambas a la vez )

A las proposiciones lógicas también se les conoce como enunciados cerrados. 

Notación

Generalmente se denota a las proposiciones lógicas mediante variables proposicionales, es decir  letras de la segunda mitad del alfabeto escritas en minúscula. $$p, q, r, s, \cdots $$ 

El valor de verdad de la proposición \(p\) se denota por \( V(p) \)  

Cuando la proposición \(p\) sea verdadera se denotará como: \(V(p)=V \)   , mientras que si es falsa se denotará por \(V(p)=F \)  

Ejemplos:

\( p: \) Moscú es la capital de Alemania.

\( q: \) El lobo es un canino

\( r: \ (15\times 2)-5=\mathring{5} \)

El valor de verdad de cada una de estas proposiciones es: 

\( V(p)=V, V(q)=F \) y \( V(r)=V \)

No son proposiciones Lógicas

Las oraciones exclamativas, interrogativas e imperativas no son proposiciones lógicas, pues no poseen valor de verdad.

Ejemplos:

¡ Hasta la victoria siempre!

¿ A qué hora sirven la cena?

¡ Firmes!

¡Ojalá llegue a casa antes de la medianoche!

Función Proposicional

Una función proposicional (llamada también enunciado abierto) es aquel enunciado que contiene una variable, el valor de verdad de dicho enunciado depende del valor que adopta dicha variable. 

Esta variable puede expresarse como un símbolo matemático \( (x, y, z, \cdots) \) o mediante alguna palabra  (el, ello, aquel, etc)

Ejemplos

• El es un gran matemático.

En este caso "El" es la variable, podemos dar un valor a esta variable. 

Si hacemos \( El=Pitágoras \) tenemos:

Pitágoras es un gran matemático. (En este caso el enunciado es verdadero).

En cambio, si hacemos \( El=Napoleón \) tenemos:

Napoleón es un gran matemático. (En este caso el enunciado es falso) 

Un ejemplo expresado en el lenguaje de las matemáticas podría ser:

• \(  x^{2}+1=5  \) 

En este caso \( \textcolor{red}{x} \) es la variable.

Si \( x=2 \)  tendremos  \(  2^{2}+1=5  \)  (Este enunciado es verdadero).

Mientras que, si \( x=1 \)  tendremos  \(  1^{2}+1=5  \)  (Este enunciado es falso).

De lo anterior, surge de manera natural, la pregunta

Notación

Generalmente se denotan las funciones proposicionales, de la siguiente forma \(  p(x)  \) de esta forma indicamos que \(  x  \) es la variable de la función proposicional. 

¿La función proposicional es una proposición lógica?

Los enunciados abiertos no son proposiciones lógicas, ya que las proposiciones lógicas tienen valor de verdad estricto, que no puede variar de la manera en que lo hacen las funciones proposicionales.

Sin embargo, bajo ciertas condiciones se puede hacer que una función proposicional se convierta en una proposición lógica